BANCO DE QUESTÕES OBMEP 2013 NÍVEL 1

CONVERSA 25:

Questões referentes ao NÍVEL 1, do banco de questões OBMEP 2013.

Tentei manter aqui a ordem sugerida na compilação.

Material compilado pelo professor Ademar ("Tchê").

3) Cubos e cubos                                OBMEP

Bráulia cortou um cubo em muitos cubinhos de aresta 1 cm, através de cortes paralelos às sua faces. Por exemplo, se este  cubo tivesse 4 cm de lado, os cortes produziriam:

                      

Entretanto, o comprimento da aresta deste cubo é desconhecido.

a) Após cortar o cubo, Bráulio contou os cubinhos de 1 cm de lado, os quais eram 512. Qual era o comprimento da aresta do cubo?

b) Laura faz o mesmo com outro cubo, para o qual também é desconhecido o comprimento da aresta. Após o corte, Laura conta 512 cubinhos que antes não tinham nenhuma face em contanto com o exterior do cubo. Qual era o comprimento do cubo?

5) Pintando um cubo                            OBMEP

Mônica tem seis cores para pintar as faces de um cubo. De quantas maneiras ela pode fazer isso se:

a) Se todas as faces têm a mesma cor?

b) Cinco face têm a mesma cor e uma face tem uma cor diferente das restantes?

c) Todas as face têm cores diferentes?

Observação: lembre-se, por exemplo, de que as duas pinturas abaixo são iguais, pois se girarmos uma delas de maneira apropriada, obteremos a outra!

6) Formiga esperta                                 OBMEP

Uma formiga esperta, que passeia sobre a superfície do cubo abaixo, faz sempre o menor caminho possível entre dois pontos. O cubo tem arestas de tamanho 1 cm.

                  

Qual distância a formiga esperta percorrerá se ela for:

a) Do vértice A ao vértice B?

b) Do ponto M ao ponto N?

c) Do vértice A ao vértice D?

23) Pirâmide de números                         OBMEP

Aline gosta de brincar com números naturais. Em uma de suas brincadeiras, ela coloca um número natural em cada um dos blocos da pirâmide ilustrada abaixo. Além disso os números são colocados de modo que o produto dos números em dois blocos vizinhos do mesmo nível coincida com o número colocado no bloco acima desses. Por exemplo, na figura abaixo, caso Aline coloque os números a e b nos blocos vizinhos indicados então ela deverá colocar o número a × b naquele bloco que se localiza acima desses.

             

Encontre uma maneira na qual Aline possa colocar os números de modo que os 5 números colocados na base da pirâmide seja distintos e o número colocado no bloco do topo seja o 140026320.

22) Triângulos pequenos e grandes      OBMEP

Neste desenho, todos os triângulos são equiláteros.

                   

Sendo o perímetro do triângulo AKT igual a 108 cm, calcule o perímetro do triângulo DEC.

8) Três pontos colineares                      OBMEP

Nove ponto são desenhados em uma folha de papel, como mostrados na seguinte figura:

                         

a) De quantas maneiras é possível escolher três pontos colineares?

b)  De quantas maneiras é possível escolher quatro pontos de modo que três deles sejam colineares?

24) Cruzes sobre o tabuleiro                OBMEP

Luana precisa colocar sobre um tabuleiro de 8 × 8 cruzes do formato desenhado a seguir:

                  

De modo que duas cruzes não ocupem o mesmo quadrinho. Por exemplo:

                          

No máximo, quantas cruzes Luana pode colocar sobre o tabuleiro?

26) Divisão do terreno                       OBMEP

Dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cinco regiões, sendo quatro retângulos e um quadrado como ilustrado na figura abaixo:

                              

Na figura acima temos que:

* O quadrado do centro tem areia igual a 64 m²;

* Os lados maiores dos quatro retângulos têm o mesmo comprimento;

* As cinco regiões têm o mesmo perímetro.

Determine a área do terreno de Dona Lígia.

29) Ximena e o tabuleiro                      OBMEP

Ximena deve escolher sete números diferentes da lista 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para serem colocados no tabuleiro da figura a seguir. Ela deve colocar um numero em cada casa de modo que o produto dos números da Fila 1 coincida com o produto dos números na Fila 2 e que coincida também com o produto dos três números colocados na única coluna do tabuleiro.

                   

a) Quais são os números que Ximena deve escolher?

b) Mostre a Ximena uma forma de conseguir seu objetivo.

30) Vamos construir escadas               OBMEP

Utilizando-se quadradinhos de 1 cm de lado são construídos escadas conforme a figura abaixo:

          

a) Calcule a área total e o perímetro da quinta escada construída.

b) Precisamos de uma escada de 100 cm de perímetro. Qual escada devemos escolher?

21) O segundo quadrado                      OBMEP

Júlio recebeu um tabuleiro 10 × 10 e seis quadrados todos de diferentes cores. Sabe-se que Júlio posicionou os seis quadrados sobre o tabuleiro, um de cada vez, de forma que todas as casas do tabuleiro fosse3m cobertas por, pelo menos , um quadrado.  Ao final, Júlio formou a seguinte figura:

                 

a) Diga quais foram os dois últimos quadrados colocados por Júlio.

b) Diga qual é o tamanho do seguindo quadrado colocado por Julio.

c)  É possível dizer o tamanho do primeiro quadrado colocado por Júlio?

10) Diferença de áreas                            OBMEP

a) Na figura abaixo mostram-se dois quadrados sobrepostos. O maior tem lado igual a 4, e o menor tem lado igual a 3. Quanto é a área da região pintada de cinza menos a área da região pintada de preto?

                           

b) Na figura abaixo estão desenhado seis quadrados, cujos lados, da esquerda para a direita, são iguais a  6, 5, 4, 3, 2 e 1, respectivamente. Quanto é a área pintada de cinza menos a área da região pintada de preto?

          

14) Vai dar galho                               OBMEP

9) Tabuleiros e dominós                       OBMEP

16) Relógio matemático                          OBMEP

25) Quantos rebotes?                               OBMEP

15) Vira vira robô                                   OBMEP

17) Desenhos bem desenhados                OBMEP

20) Aline pinta o cubo                               OBMEP

7) Soma de felinos                                    OBMEP

18) Clarissa divide um hexágono      OBMEP

12) Números especiais                             OBMEP

11) Faltam três                              OBMEP

Aureliano escreve uma lista contendo cinco números, sendo o primeiro deles o 6 e o último deles o 8. O produto dos três primeiros números é 648, o produto dos três centrais é 432, e o produto dos três últimos é 288. Qual é a lista de Aureliano?

16) Número ímpar de divisores             OBMEP

O número natural preferido por Vladas possui uma quantidade ímpar de divisores. Mostre que esse número é um quadrado perfeito.

Sugestão: Note que se o número d é um divisor do número n, então n/d também é divisor de n. Por exemplo, 6 é divisor de 24. Logo, 24/6 = 4, que também é divisor de 24.

1) Água na medida certa                      OBMEP

Fábio precisa obter exatamente quatro litros de água. Para isso ele usará apenas os dois únicos baldes de água que tem em sua casa e uma torneira. Sabendo que um dos baldes que Fábio tem em sua casa tem capacidade de três litros, e outro tem capacidade de cinco litros, determine uma maneira com a qual Fábio pode obter a quantidade de água de que necessita.

2) Laranjas e goiabas                              OBMEP

Numa quitanda há três caixas. Uma contém apenas laranjas, outra contém apenas goiabas, e a terceira contém laranjas e goiabas. Ives, que trabalha nesta quitanda, escreveu em uma caixa “Laranjas”, em outra “Goiabas” e em outra “Laranjas e Goiabas”, de maneira que cada nome estivesse na caixa errada. Pedindo a Ives que retire e mostre apenas uma fruta de apenas uma caixa, é possível saber como reescrever todos os nomes nas caixas de maneira correta. Explique como!

4) Qual a unidade?                                                                                                                          OBMEP

Qual o algarismo das unidades do número 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰¹³ ?

Lembre-se, por exemplo, de que 3² = 3 x 3 = 9. E 3³ = 3 x 3 x 3 = 27. Lembre-se, também, de que o algarismo das unidades de um número é o último à direita dele. Por exemplo, o algarismo das unidades de 376564534539 é 9.