Conversas Matemáticas: BANCO DE QUESTÕES OBMEP 2013 NÍVEL 3

CONVERSA 26

Compilação preparada pelo professor Ademar ("Tchê").

Procurei manter um pouco da diagramação original da compilação.

1 Quadrado mágico

Um quadrado mágico é uma tabela quadrada na qual a soma dos números em qualquer linha ou coluna é constante. Por exemplo,

É um quadrado mágico, o qual usa os números de 1 a 9.Como o leitor pode verificar, a soma em qualquer linha ou coluna é sempre igual a 15.

a) O quadrado abaixo é arte de um quadrado mágico que usa os números ímpares entre 1 e 17. Descubra qual número X deve ser.

b) Um quadrado mágico é dito hipermágico quando a soma em qualquer linha,coluna, ou diagonal, é constante. Escreva os números de 1 a 9 no quadrado abaixo de modo que ele se torne hipermágico.

2 Clube de ciclistas

Os ciclistas têm aversão ao número zero (porque é oval) e ao número oito (porque assim ficam as rodas após os acidentes). Quantos sócios podem se inscrever num clube de ciclistas se cada um deve possuir uma identificação de três dígitos, sem usar o dígito zero nem o dígito oito?

3. Tesoura e papel

Uma folha de papel é retangular, com base igual a 20cm e altura 10 cm. Esta folha é dobrada nas linhas pontilhadas conforme a figura abaixo, e no final recortada por uma tesoura na linha indicada, a qual é paralela à base e está na metade da altura do triângulo.

a) Depois de cortar no local indicado, em quantas partes a folha ficou dividida?

b) Qual a área da maior parte?

4. A corrida de Cordisburgo

Na cidade de Cordisburgbo, foi realizada uma corrida de bicicleta num circuito circular, da qual participaram três ciclistas, Guimarães, Rosa e João. Na primeira hora da corrida, Guimarães fez exatamente 230 voltas completas, João fez exatamente 111 voltas completas, porém não se sabe quantas voltas Rosa realizou, sabe-se apenas que foi um número inteiro e que Rosa deu mais voltas que João e menos do que Guimarães. Além disso, cada um deles andou com velocidade constante, e todos partiram juntos do mesmo ponto. Considerando também as ultrapassagens feitas no tempo inicial, quantas ultrapassagens no total foram feitas nessa primeira hora de corrida?

5 Múltiplos de 3 e quadrados

Escreve-se, em ordem crescente, cada um dos múltiolo9s de 3 cuja soma com 1 é um quadrado perfeito:

3, 15, 24, 48, ...

a) Qual é o próximo número que aparecerá, nesta sequência, depois de 48?

b) Qual é o oitavo número desta sequência?

c) Qual é o número que aparecerá, nesta sequência,

na 2013ª posição?

6 Minhoca matemática

Uma minhoca matemática parte do ponto A e chega ao ponto B da figura abaixo.

Esta minhoca matemática se move sempre sobre as linhas pretas do desenho acima, e nunca passa sobre um lugar no qual ela já esteve anteriormente. Além disso, esta minhoca pode andar para baixo, para cima e para a direita, mas não para a esquerda. Por exemplo, um caminho possível para que a minhoca matemática vá do ponto A ao ponto B poderia ser:

a) De quantas maneiras diferentes a minhoca matemática pode ir do ponto A ao ponto B através de caminhos contidos nos segmentos mostrados na figura abaixo?

Qual o número total de maneiras que a minhoca matemática pode ir do ponto A ao ponto B? (seguindo as regras anteriores, para qualquer caminho, não apenas os do item a).

7 Equiláteros

O triângulo ABC abaixo é eqüilátero, ou seja, tem seus três lados de mesmo comprimento e todos seus ângulos iguais a 60°. O senhor Simas marca um ponto H qualquer no lado BC do triângulo. Em seguida, ele traça um segmento paralelo ao lado AC, começando em H e terminando no ponto I sobre o lado AB. Em seguida, traça um segmento paralelo ao lado AB, começando em H e terminando no ponto J sobre o lado AC, conforme figura abaixo:

a) Sabendo que o lado AB tem comprimento igual a 1, calcule o perímetro do quadrilátero AIHJ.

b) O senhor Simas segue desenhando, como mostra a figura a seguir, e traça os segmento LO e MP de maneira perpendicular ao lado BC.

Seja d o comprimento do segmento IL, seja f o comprimento do segmento JM e seja z o comprimento do segmento OP. Mostre que

8 Tridominós

Um tridominó é a figura a seguir, que é composta por três quadrados.

Podemos juntar tridominós para formar figuras. Por exemplo, podemos juntar dois tridominós para formar um retângulo 2 x 3, conforme observa-se abaixo:

a) Mostre que não é possível juntar tridominós (sem sobrepô-los) de maneira a formar um quadrado 3 x 3.

b) Mostre que não é possível juntar tridominós (sem sobrepô-los) de maneira a formar um quadrado 4 x 4.

Qual o número mínimo de tridominós necessários para formar um quadrado? Justifique.

9 Nascimento?

O personagem histórico mexicano Benito Juarez nasceu na primeira metade do século XIX (o século XIX vai do ano 1801 ao ano 1900). Sabendo que Benito Juarez completou x anos no ano x², qual foi o ano do seu nascimento?

10 Dobrando papel

Júlio Daniel tem um quadrado de papel com vértices A, B, C e D. Ele primeiro dobra este quadrado de papel ABCD levando os vértices B e D até a diagonal, como mostra afigura a seguir:

E em seguida, Júlio Daniel leva o vértice C até o vértice A, obtendo assim um pentágono, como é mostrado a seguir:

a) Mostre que o ângulo a mede 90°.

b) Determine a medida do ângulo b.

11 Gato em cachorro

12 Dez quadrados perfeitos

Seja a um número inteiro positivo tal que há exatamente 10 quadrados perfeitos maiores que a e menores que 2a.

a) Encontre o menor valor possível de a.

b) Encontre o maior valor possível de a.

13 Menores caminhos

14 Um desafio matemático

16 Tetraedro dentro de cubo

Um tetraedro regular é um sólido de quatro faces, sendo todas elas triângulos eqüiláteros de mesmo tamanho. A figura abaixo mostra um tetraedro regular.

O comprimento de qualquer Aresta de um tetraedro regular é o mesmo. Por exemplo, no tetraedro acima, (os segmentos...)

AB = AC = CD =BC = AD = BD . Mostre como colocar um tetraedro de lado

inteiramente dentro de um cubo de lado 1.

17 Achou?

a) Encontre todos os números inteiros positivos de dois algarismos

tais que:

(a + 1) (b + 1) = "ab" + 1

b) Encontre todos os números inteiros positivos de três algarismos "abc" tais que:

(a + 1) (b + 1) (c + 1) = "abc" + 1.

15 Caminhos inusitados

18 Os números de Luana

No interior de cada um dos círculos que aparecem na figura abaixo, a pequena Luana colocou um dos números 1, 2, 3 4, 5, 6 e 7.

Ela o fez de modo que todos os números foram usados. O seu irmão mais velho, Pedro, olhou para cada trio de círculos colineares e somou os três números neles colocados. Pedro observou que a soma resultava ser sempre a mesma.

a) Mostre que o número colocado por Luana no círculo do topo é 4 e que a soma constante observada por Pedro é igual a 12.

Encontre uma maneira pela qual Luana poderia ter conseguido realizar tal proeza.

19 Os amigos de Ernaldo

Arnaldo, Bernbaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo são estudantes de distintas partes do Brasil que foram escolhidos para representar o seu país nas olimpíadas internacionais. Depois de várias semanas de treino, algumas amizades foram formadas. Perguntamos, então, a cada um deles quantos amigos tinham feito no grupo. Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo responderam, respectivamente, que tinham feito 1, 2, 3 e 4 amigos dentro do grupo. Quantos dos integrantes do grupo são amigos de Ernaldo?

20 Quem inclinou o quadrado?

Na figura, PQRS é um quadrado, [o segmento] QE = 17 e [o segmento] PH = 12.

Calcule [o segmento] SE.

21 Quatro números para quatro casas

Os números x, y , z e w na figura são números inteiros todos diferentes entre si, maiores que 1, e foram colocados nas casas abaixo de modo que cada número (a partir de y) é divisor do número na casa da esquerda.

Descubra todas as soluções possíveis para x, y, z e w sabendo que a soma deles é 329.

23 Calcule o ângulo APC

Nos lados AB e BC de um triângulo equilátero ABC, fixam-se dois pontos D e E, respectivamente, de modo que AD = BE.

Se os segmentos AE e CD se cortam no ponto P, determine o ângulo APC.

22 O presente do pequeno Abel

24 Alguém quer batata?

Um comerciante recebeu quatro sacos de batas e deseja medir o peso de cada um deles. Ele sabe que os pesos desses sacos em quilogramas são quantidades inteiras e distintas. Suponha que os pesos dos sacos (em quilogramas) sejam a, b, c e d, com

a < b < c < d.

a) Mostre que, ao pesar os sacos de dois em dois, o maior resultado é c + d, e que o segundo maior é b + d. Mostre também que o menor resultado é a + b e o segundo menor é a + c.

b) A balançado comerciante quebrou. Assim elas só consegue indicar pesos maiores ou iguais do que 100 quilogramas. Ele decide então pesar os sacos de dois em dois realizando assim seis pesagens. Em quatro das pesagens ele obteve como medidas (em quilogramas): 101, 112, 116 e 127. Nas outras duas, ele só conseguiu descobrir que as somas eram menores ou iguais a 100 quilogramas. Encontre os pesos dos quatros sacos.

25 Consecutivos em casas vizinhas