FRAÇÕES

CONVERSA 2

Você já deve ter pensado nisso, então vou tentar usar suas palavras: fração é a representação numérica de uma parte, um pedaço.

Como assim?

Bem, vou usar um exemplo simples: você e um amigo vão a uma “baiuca” comprar um lanche; pra variar, nenhum dos dois tem o dinheiro todo pra pagar a conta, então tem a ideia brilhante de repartir “metá-metá” - cada um paga a metade do prejuízo. Assim, matematicamente escrevemos que o gasto de cada um pode ser representado por ½ (um sobre dois ou um meio).

Epa!!!

“Mas eu paguei R$ 2,50! que papo é esse de ½?”

Calma, “elemento”... vou explicar.

A fração ½ só quer dizer que cada uma das duas pessoas pagou uma parte.

Vamos pensar em outra coisa: há pessoas que gastam muito, não é verdade? Talvez você até conheça alguém assim; há pessoas que comprometem até 2/3 de sua renda mensal com contas do cartão de crédito (inda bem que nem cartão eu tenho). O que esse 2/3 quer dizer?

Quer dizer que se nós “quebrarmos” a renda mensal dessa pessoa em três partes, perceberemos que ela gasta duas partes só com o cartão de crédito, ficando portanto com apenas uma parte para as demais despesas. Aí você pensa: “bem, depende se ela ganha muito ou pouco”. De certo modo, você até que está certo, mas a vantagem da fração é que não importa se a pessoa ganha muito ou pouco; a fração “não se preocupa” com o valor que está em discussão. Ela representa uma informação mais geral, mais completa.

Confundiu? Veja só:

Suponha que uma senhorita chamada Caroline ganhe R$ 3000,00 e outra chamada Amanda ganhe R$ 1500,00, mas ambas tem a mesma despesa no cartão de crédito, quer dizer, ambas “torram” 2/3 de sua renda no cartão de crédito.

Ora, se quebrarmos a renda de Caroline em 3 pedaços, veremos que dá 3 pedaços de R$ 1000,00 cada, e concluímos facilmente que ela gasta R$ 2000,00 com o cartão; já a nossa colega Amanda gasta os mesmos 2/3, embora eles só representem R$ 1000,00 (repartindo a grana da Amanda em 3 partes, teremos três partes de R$ 500,00, não é? Ela gasta duas partes de R$ 500,00, ou seja, R$ 1000,00; entendeu?)

Já é possível perceber que, numa fração, a parte de baixo indica em quantas partes o inteiro (o valor total em questão, seja um salário, uma dívida, etc) foi “quebrado” ou repartido, e a parte de cima indica quantas partes são utilizadas.

Sendo assim, ½ quer dizer que usamos uma parte de duas disponíveis e 2/3 quer dizer que usamos duas partes de três disponíveis.

O número de baixo é chamado DENOMINADOR, pois é ele que ajuda a dar um nome pra fração; o número de cima é chamado NUMERADOR, pois indica quantas partes nós pegamos do inteiro.

Meio confuso começar de baixo para cima? Então vamos reescrever: o número de cima chama numerador e o de baixo chama denominador; ok?

Sempre que o número de cima é menor que o de baixo, temos uma fração PRÓPRIA, pois ela representa um pedaço “de verdade”, uma porção menor que o inteiro.

Como exemplo, podemos escrever 12/29, 15/47, 2/5 e assim por diante. Perceba que em todas elas nós sempre pegaremos uma quantidade menor do que aquela em que o inteiro foi repartido.

“Epa!!! e desde quando é possível pegar mais pedaços do que os que o inteiro foi repartido?”

(Danou-se... vou explicar...)

Vamos para o velho exemplo da barra de chocolate. Suponhamos que duas meninas (não feias, de preferência) estejam sentadas próximas a quadra de esportes de seu colégio, ambas com o alimento preferido das meninas... chocolate, é claro! As barras de chocolate são aquelas que tem divisões em tabletinhos (não sei bem o porquê dos tabletinhos, uma vez que nossa mordida não é quadradinha, mas não vem ao caso agora); nas barras de nossa questão, são 27 tabletinhos em cada barra (existem sim, pois eu vi no Google!). Para apimentar nossa história, vamos por um pouco de romance. As meninas são xica e zefa (com minúscula mesmo, pois é apelido e eu to com preguiça de usar maiúscula). Cada uma está com uma barra de chocolate de 27 tabletinhos. Afoitas, elas desembalam as barras e zefa começa logo o seu “serviço”, detonando sua barra; já a xica se distrai olhando (e suspirando) pro zé; depois de muitos suspiros, ela cai na real e descobre que a morta de fome da zefa já atacou até a barra que estava na mão dela (da xica).

Ao todo, zefa devorou 40/27 das barras de chocolate.

“Égua!!! espera aí! Mas cada barra é representada por 27/27; como é que a zefa devorou 40/27?”

Bem, da própria pergunta já da pra sacar a resposta. A esfomeada da zefa devorou os 27 tabletinhos da barra dela (ou 27/27) e ainda 13 tabletinhos (13/27) da babona da xica (27 + 13 = 40).

Você já percebeu que pra frações assim a gente precisa de um inteiro (completo) ou de mais de um inteiro. Frações assim são chamadas IMPRÓPRIAS.

Como exemplo, temos 27/27, 40/27, 9/4, 16/8 e assim por diante.

Importante lembrar: há um caso especial de frações impróprias, as chamadas frações APARENTES (quer dizer, na verdade elas são inteiros disfarçados de frações); ocorrem quando o numerador (o de cima) é múltiplo do denominador (o de baixo). Em outras palavras, fração imprópria é aquela em que a divisão do de cima pelo de baixo dá sempre um número “redondo” (não, não to fazendo comercial de cerveja).

Como exemplo, temos 8/8 (= 1), 24/3 (= 8), 8/4 (= 2) e assim por diante.

Lembre também que é possível representar qualquer número inteiro por uma fração de denominador 1; quer dizer, podemos escrever 5 como 5/1, por exemplo.

Já ouviu falar de fração equivalente? São aquelas que representam o mesmo valor, embora sejam escritas com números diferentes.

(“Entendi foi nada...”)

Calma. “Nóis” explica.

Como exemplo, vamos usar as frações 5/4 e 15/12; se você dividir 5 por 4 encontra 1,25; se dividir 15 por 12 encontra também 1,25. Portanto, dizemos que as frações 5/4 e 15/12 são EQUIVALENTES.

Outros exemplos seriam, dentre muitos, 2/3 e 4/6, 18/30 e 3/5 e assim por diante.

Uma outra coisa muito útil a respeito das frações é uma coisa chamada SIMPLIFICAÇÃO; o nome é grande, mas a operação é muito simples. Simplificar uma fração é “emagrecê-la” ou seja, escrevê-la na forma irredutível.

“Mas, como é que simplifica uma fração? Peraí! Já sei! Simplificar é escrever de modo mais simples, certo?”

Certo!

“Então, se eu tiver a fração 13/23, eu 'corto' os números 3 e escrevo ela bem simples, como ½. Que tal?”

Olha, a tentativa foi muito boa; meus parabéns. Eu estou abismado com a dedução, mas temos que esclarecer algumas coisas.

Primeiro, uma fração simplificada é sempre uma fração equivalente àquela que lhe deu origem.

Segundo, a maneira correta de simplificar uma fração exige realmente um “corte”, mas ele é feito usando uma DIVISÃO.

“Como assim?”

Bem, você precisa ter um número que consiga dividir, ao mesmo tempo, tanto o numerador como o denominador.

Perceba que, no exemplo proposto 13/23, não há nenhum número capaz de dividir o 13 e o 23 ao mesmo tempo. Sendo assim, dizemos que a fração 13/23 já está na forma irredutível (quer dizer, que não pode ser reduzida, ou não pode mais ser simplificada).

Veja, como exemplo, a fração 15/60; os divisores comuns de 15 e 60 são (descontando o 1, é claro) 3, 5 e 15; você pode fazer a simplificação por 3, e terá a fração 5/20. No entanto, você pode perceber que essa última fração ainda pode ser simplificada (por 5, obviamente), chegando então a ¼.

Portanto, uma sugestão é que, ao invés de ir simplificando pedacinho por pedacinho, você encontre logo (se possível) o maior divisor comum entre os dois números; isso vai simplificar o trabalho.

Mas é claro, se você acha mais seguro ir mais devagar, não tem problema; mas lembre-se que é preciso deixar a fração na forma irredutível.

Como exemplo temos a fração 16/40; os números que dividem tanto 16 quanto 40 ao mesmo tempo são 2, 4 e 8; então, é melhor dividir logo tudo por 8 e chegamos a 2/5, que é irredutível.

Bem, espero que a gente tenha se entendido até aqui.

Como a conversa já tá muito longa, vou parar por aqui; fico te devendo uma conversa sobre operações com frações, tá bom?

(Texto criado em 02 de abril de 2012, segunda-feira; ordem dos tópicos inspirada na seção Instrumental Matemático, do livro Estatística Fácil, de Antonio Arnot Crespo, pág. 176 e 177, Editora Saraiva).