PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU

CONVERSA 5

Escrito em 08 de julho de 2012, prof. Osvanildo Alves

Tem dificuldade para resolver uma equação de segundo grau? Não sabe como trabalhar com as equações incompletas? Se confunde sobre quais fórmulas usar?

Nesta conversa, vamos lhe ensinar a resolver equações de segundo grau completas e incompletas. E então? Vamos conversar?

Em primeiro lugar, uma equação de segundo grau é aquela em que aparece um expoente 2 na letra.

- Peraí! Por que você disse “letra” ao invés de dizer só “x”?

Porque a letra realmente não é importante; se aparece o expoente 2 na letra e se esse é o maior expoete que aparece, a equação é de segundo grau.

Por exemplo, em Ciências (nono ano) ou em Física (primeiro ano do Médio) você se depara com a função horária da posição do movimento uniformemente variado, na qual o expoente 2 aparece numa letra “t”, que é o tempo.

Podemos também dizer que a equação de segundo grau é do tipo ax² + bx + c = 0, onde, é claro, o “a” não pode ser zero.

- E por que o “a” não pode ser zero?

Se o “a” for zero, o termo em x² vai sumir, e aí a equação deixa de ser de segundo grau.

- Mas eu só vi até agora equações que tem números; o que essas letras (a, b, c) querem dizer?

Essas letras são chamadas coeficientes, e assim como na equação de primeiro grau, elas representam números, e são chamadas COEFICIENTES.

- Ah, tá! Lembrava não.

Pois bem, agora que lembrou, vamos prosseguir.

Se a equação trouxer os três coeficientes, ela é dita completa; caso falte algum deles (exceto o “a”, é claro) ela é dita incompleta. Temos então as equações incompletas do tipo “a”, do tipo “a, b” e do tipo “a, c”.

- Complicou!

Calma; vou dar um exemplo...

Veja as equações abaixo:

Completas: 3x² + 2x – 5 = 0; 8 – 6x² + 4x = 0; -2x – x² – 3 = 0.

Veja que em cada uma delas aparecem os três termos: um com x², outro só com x e outro sem x; estes são o “a”, o “b” e o “c”, respectivamente. Perceba também que a ordem em que esses termos aparecem não é importante; o termo com x² pode vir no começo, no meio ou no fim; ele sempre será o “a”.

Incompletas do tipo “a”: -6x² = 0; x² = 0; 9x² = 0.

Incompletas do tipo “a, b”: -3x – 4x² = 0; 9x² + x = 0; -x² + 4x = 0.

Incompletas do tipo “a, c”: x² + 3 = 0; -5 – 4x² = 0; -x² + 8 = 0.

Me acompanhou até aqui?

- Acho que sim.

Então, vamos aprender como é que resolve, quer dizer, como encontrar os valores de x.

- Como assim “valores”; vamos encontrar mais de um?

Sim; como a equação é de segundo grau, ela tem duas respostas; estas respostas são os valores de x, que chamamos de RAÍZES (ou zeros) da equação.

Para resolver qualquer tipo de equação de segundo grau, siga os seguintes passos:

Primeiro: identifique “a”, “b” e “c”.

Segundo: calcule o valor de Delta (tenha calma; já vou dizer o que é isso).

Terceiro: use a fórmula de Bhaskara [1] (também vou já lhe dizer como ela é; tenha calma).

- É bom que diga mesmo, pois tá parecendo muito esquisito.

Vamos começar com um exemplo.

Resolvamos a equação x² – x – 30 = 0

Primeiro passo: identificando os coeficientes.

Como o x² e o x estão sozinhos, sabemos que o número que os acompanha é o 1; então temos que a = 1 e b = -1 (cuidado pra não errar esse sinal). Temos ainda que c = -30, pois ele está sem letra nenhuma.

Segundo passo: calcular o delta (o símbolo é um triângulo; na verdade, é uma letra grega, maiúscula).

O delta é chamado DISCRIMINANTE da equação, pois ele vai dar muitas informações sobre as raízes.

- Como assim?

Seguinte: se o delta der positivo, quer dizer que teremos duas raízes diferentes; se o delta der zero, então nós teremos duas raízes repetidas (ou iguais); se o delta der negativo, então nós paramos a conta e dizemos que o resultado é o conjunto vazio.

- E como é que calcula esse tal de delta?

Boa pergunta. Você usa essa fórmula:

Fonte: 2a2010jmc.wordpress.com

 

Onde o “b”, o “a” e o “c” que aparecem são os coeficientes da equação de segundo grau.

Temos então que [delta] = (-1)² – 4 . 1 . (-30) = 1 + 120 = 121.

Como o valor de delta que encontramos é positivo, isso indica que teremos duas raízes diferentes como nossas respostas.

Terceiro passo: utilizar a fórmula de Bhaskara

Fonte: 2a2010jmc.wordpress.com

Basta agora substituir os coeficientes que conhecemos.

Assim, temos que x = (-(-1) + 11)/2.1 = (1 + 11)/2 = 12/2 = 6, que é a nossa primeira resposta; a segunda resposta é obtida assim: x = (-(-1) – 11)/2.1 = (1 – 11)/2 = -10/2 = -5.

- Epa! De onde apareceu esse 11?

Esse 11 é a raiz quadrada de 121, que é o nosso delta.

- Ah, bom...

Terminando a história, dizemos que o conjunto solução da equação é S = {6, -5} ou S = {-5, 6}; aqui, a ordem em que esses números são escritos não é importante.

Tome cuidado para não errar nenhum dos sinais, e nem confundir a fórmula do delta com a fórmula de Bhaskara, ok?

Vamos resolver uma em que o delta dá um número negativo?

Por exemplo, a equação 2x² + 6x + 5= 0.

Sabemos que a = 2, b = 6 e c = 5; calculando delta, encontramos [delta] = -4, que é um número negativo.

Nesse caso, não dá pra calcular a raiz quadrada de delta, que aparece na fórmula de Bhaskara; sendo assim, paramos a conta e dizemos somente que S = { }, ou seja, o conjunto solução é o conjunto vazio.

Sejam equações completas ou incompletas, os passos são sempre os mesmos:

a)      Identifique a, b e c

b)      Calcule o delta, e se ele for positivo ou nulo...

c)       Use a fórmula de Bhaskara para achar as raízes.

d)      Escreva o conjunto solução.

- Mas não tem nenhum macete pra resolver as equações incompletas de um jeito mais rápido?

Na verdade, tem...

- Então conta!!

Seguinte:

Se for do tipo “a”, você já sabe que a resposta vai ser sempre ZERO.

Se for do tipo “a, b”, uma resposta é sempre ZERO, e a outra é dada por x = -b/a.

Se for do tipo “a, c”, basta dividir o oposto de "c" por "a" e tirar a raiz quadrada. A essa raiz, vc acrescenta os sinais de mais (+) e de menos (-).

E pronto!!

- Ajudou muito...

Calma, vamos ver exemplos, tá bom?

Vamos resolver a equação 3x² – 5x = 0, do tipo “a, b”, em que a = 3 e b = - 5.

Já sabemos que uma das raízes é zero, e a outra é dada por x = - (-5)/3 = +5/3.

E nosso conjunto solução é S = {0, 5/3}.

Ficou claro?

Vamos resolver a equação 5x² – 20 = 0, do tipo “a, c”, em que a = 5 e c = -20.
Temos que o oposto de c é +20 e podemos fazer +20/5 = 4, cuja raiz quadrada é 2; portanto, nossas raízes serão +2 e -2.

E temos que nosso conjunto solução é S = {-2, +2}; beleza?

E então? Conseguiu relembrar? Agora é só pegar um livro e praticar, resolvendo muitas questões.

Na dúvida, entre em contato.

Caso deseje copiar esse conteúdo, favor citar o autor ou o blog.

[1] Parece não haver provas históricas de que essa fórmula foi descoberta por Bhaskara, mas de algum modo foi atribuída a ele a fórmula.