REGRA DE TRÊS

CONVERSA 23

Podemos chamar de regra de três os problemas nos quais aparecem duas ou mais grandezas, que guardam entre si relações de proporção direta ou inversa.

Ficou difícil de entender?

Então vamos conversar sobre isso com mais calma, até você entender tudo que precisa.

Quando no problema aparecem apenas DUAS grandezas, temos a regra de três SIMPLES; quando aparecem TRÊS ou mais, temos a regra de três COMPOSTA.

Em problemas desse tipo, temos sempre duas histórias semelhantes; em geral, a primeira história traz as grandezas do problema, apresentando todos os seus valores; na segunda parte, as mesmas grandezas são apresentadas, mas o valor de uma delas deve ser procurado.

É fácil perceber, no caso da regra de três simples, que dos quatro valores possíveis (dois de cada grandeza) apenas três são revelados; daí o nome “regra de três”.

Dito isto, vamos ver como é que resolve.

Uma questão clássica é aquela que envolve trabalhadores. Vejamos.

Problema 1 – Se você e mais cinco amigos conseguem preparar um jardim em 10 dias, em quanto tempo você e mais três amigos fariam o mesmo serviço? (suponha que a eficiência seja a mesma).

Perceba que a história tem duas partes muito parecidas.  Na primeira parte (“Se você e mais cinco amigos conseguem preparar um jardim em 10 dias”) são apresentadas as grandezas PESSOAS (6 ao todo: você e mais cinco) e DIAS ou TEMPO; é de se esperar que na segunda parte do problema também apareçam essas duas grandezas (mesmo que a ordem de apresentação não seja a mesma). De fato, na segunda parte do problema (“em quanto tempo você e mais três amigos fariam o mesmo serviço?”) reaparece a grandeza TEMPO (ou DIAS) e PESSOAS (4 ao todo).

Para resolver, organize as grandezas em colunas; uma coluna com os valores da grandeza PESSOAS e outra coluna para o TEMPO (ou DIAS, como preferir).

Pessoas             Dias

6                         10

4                          x

Como não sabemos o valor dos dias na segunda parte da história, representamos esse valor desconhecido por x (ou qualquer outra letra que você prefira).

O passo seguinte é analisar as grandezas, comparando o comportamento delas de modo a verificar se a relação entre elas é direta ou inversa.

Você pode fazer isso com uma pergunta, mais ou menos assim:

“Se 6 pessoas fazem um serviço em 10 dias, menos pessoas farão o mesmo serviço em mais dias ou em menos dias?”

Ou ainda: “se diminuiu o número de pessoas, o número de dias aumenta ou diminui?”

No problema proposto, percebemos que a diminuição no número de pessoas acarreta o aumento no tempo para terminar o serviço.

Temos aqui a relação “diminui-aumenta” e concluímos que as grandezas são IP (inversamente proporcionais; ver conversa anterior, neste mesmo blog).

Encontrada a relação entre as grandezas, vamos montar uma proporção (igualdade entre duas razões).

Aqui é preciso tomar cuidado com uma coisa: como a grandeza DIAS é inversamente proporcional à grandeza PESSOAS, uma das colunas deve ser posta de cabeça para baixo, na hora de montar a proporção. Fazemos isso sempre (e somente) que temos grandezas inversamente proporcionais.

Optarei por girar a coluna DIAS; nossa resolução ficará assim:

6/4 = x/10

Repare que ficou “x/10” e não “10/x” como estava na leitura do problema.

Por fim, basta usar a propriedade fundamental das proporções e teremos que 4x = 60, ou seja, x = 15 dias.

Daí você pensa: “oba! Então se eu tiver uns 20 amigos pra ajudar vou terminar em minutos!!”

Tenha calma; embora a matemática te dê resultados numéricos legais, nem sempre a realidade permite que eles sejam verdade. Todos nós sabemos que, a partir de certo ponto, gente demais fazendo um serviço mais atrapalha do que ajuda.

Problema 2 – Suponha que você recebe R$ 500 por 20 dias de trabalho; nesse mesmo ritmo, quanto você receberá se trabalhar por 95 dias?

Aqui, as grandezas são DINHEIRO (ou R$) e DIAS (ou tempo); organize-as em colunas.

Dinheiro          Dias

500                   20

Y                       95

Usei “y” para representar o valor desconhecido, mas você pode usar a letra que desejar.

Passo seguinte: estude a relação entre as grandezas (se são DP ou IP) e monte a proporção.

Para estudar a relação usaremos uma pergunta: “se trabalhando 20 dias eu ganho 500, então se eu trabalhar mais dias eu ganharei mais ou menos que 500?”

A relação é evidentemente DIRETA, pois percebemos facilmente a presença do “aumenta-aumenta”; ou seja, quanto mais dias trabalhados, maior será o ganho.

Como a relação de proporcionalidade é direta, a proporção que vamos montar não sofrerá alteração; ela fica assim:

500/y = 20/95

Exatamente como estava quando montamos as colunas. Isso nos leva a 20y = 500 . 95, ou seja: 20y = 47500, ou ainda y = 2375.

De acordo com a questão, com 95 dias trabalhados é possível acumular um ganho de R$ 2375.

Como você mesmo já concluiu, os exemplos acima são de regra de três simples, uma vez que aparecem apenas duas grandezas.

Os passos para resolver uma regra de três simples podem ser resumidos assim:

1 – Identifique as grandezas e monte as colunas.

2 – Verifique se as grandezas são IP ou DP.

3 – Monte a proporção. Lembre que, se as grandezas forem IP, uma das razões deve ser escrita “de cabeça para baixo”.

4 – Use a propriedade fundamental das proporções e encontre a resposta.

No caso de uma regra de três composta em que temos que trabalhar com três ou mais grandezas, os passos são quase os mesmos. Vejamos alguns exemplos.

Vamos analisar o seguinte exemplo:

Problema 3 – Vinte trabalhadores conseguem asfaltar cinco quilômetros de estrada em nove dias, trabalhando oito horas por dia. Nas mesmas condições, para asfaltar quatro quilômetros da mesma estrada, vinte e cinco trabalhadores com jornada diária de seis horas, levariam quantos dias?

Veja que aqui a história também tem duas partes em que aparecem os mesmo elementos, embora a ordem seja diferente. As grandezas envolvidas são TRABALHADORES, KM, DIAS e H/DIA.

Alterei a ordem em que os elementos aparecem na segunda parte da história, mas isso não muda a maneira como as colunas são preenchidas.

Sendo assim, montemos as colunas.

Trab.       km       dias      h/dia

20            5            9            8

25            4            x            6

Feito isto, vem agora a parte que dá um pouco mais de trabalho: analisar a relação entre as grandezas (se são DP ou IP).

Isto é feito a partir de perguntas, todas relacionadas com a coluna que tem o termo desconhecido (em nosso exemplo, a coluna DIAS).

Você pode fazer perguntas mais ou menos assim:

Colunas “trabalhadores” e “dias”: “se 20 trabalhadores fazem um trabalho em 9 dias, 25 trabalhadores farão o mesmo trabalho em mais dias ou em menos dias?”

Aqui, percebemos que quanto mais trabalhadores, menos dias serão necessários; por causa da relação “aumenta-diminui” as grandezas são IP.

Colunas “km” e “dias”: “se 5 km são construídos em 9 dias, 4 km serão construídos em mais dias ou em menos dias?”

Obviamente, quanto menos tiver para construir, menos tempo levará; pela relação “diminui-diminui”, as grandezas são DP (diretamente proporcionais, pois apresentam o mesmo comportamento, ambas diminuem).

Colunas “h/dia” e “dias”: “se trabalhando 8 horas por dia eles levam 9 dias, então trabalhando 6 horas por dia eles levarão mais dias ou menos dias?”

Fácil perceber que se trabalham menos tempo cada dia, levarão mais dias pra terminar o serviço; pela relação “diminui-aumenta” percebemos que essas grandezas são IP.

Agora, cuidado!

Para armar a proporção (que aqui é uma proporção múltipla) separe a coluna que tem o valor desconhecido (aqui, a coluna DIAS) antes do sinal de igual.

Depois do sinal de igual você vai colocar as outras razões (ou colunas), multiplicando. Tome o cuidado de INVERTER AS QUE SÃO IP.

Vai ficar assim: 9/x = 25/20 . 5/4 . 6/8

Repare que inverti (ou deixei de cabeça para baixo) as colunas “trabalhadores” e “h/dia”, pois elas são IP.

Efetue a multiplicação das razões, pra diminuir o tumulto, e obtenha: 9/x = 750/640.

Usando a propriedade fundamental das proporções, você encontrará: 750x = 5760, o que indica que x = 7,68 dias; melhor dizendo, cerca de 8 dias (arredondando).

Num problema como o que foi dado acima, é possível inserir outras grandezas, como a eficiência dos trabalhadores; essa grandeza, em especial, geralmente só é citada na segunda parte da história; nesse caso, considere a eficiência na primeira parte como sendo 1 e as coisas ficarão mais amigáveis.

Em resumo, os passos para resolver uma regra de três composta são os seguintes:

1 – Identifique as grandezas e monte as colunas.

2 – Verifique se as grandezas são IP ou DP.

3 – Monte a proporção, deixando sozinha antes do igual a razão que tem o valor desconhecido. Lembre que, para as grandezas IP, as razões devem ser escritas “de cabeça para baixo”.

4 – Efetue a multiplicação de todas as razões que estão do outro lado do sinal de igual, de modo a simplificar um pouco a proporção.

5 – Use a propriedade fundamental das proporções e encontre a resposta.

Espero que a postagem tenha sido útil.

Em caso de dúvidas ou sugestões, deixe seu comentário ou mande um email (ver página “Contatos”).

Abração e sucesso.