CONVERSA 12
Partindo do princípio de que você com certeza já estudou a teoria básica de trigonometria, já sabe o que é um arco de circunferência.
Sendo assim, vou me deter em alguns outros aspectos.
Nossa primeira questão diz respeito as unidades “grau” e “radiano”.
Você com certeza já sabe que grau é qualquer um dos 360 pedaços em que a circunferência é repartida (daí dizermos que uma volta completa tem 360°). Mas, se me lembro bem, a confusão começa quando falamos em radiano.
Para que você entenda o que é um arco de 1 radiano (1 rad) vai precisar de uma lata cilíndrica e um barbante (uma linha de costura, ou algo assim); defina o centro da tampa da lata e estique o barbante do centro que você marcou até a borda da tampa. Isso é feito pra determinar o tamanho do raio.
Feita essa marcação no barbante, use-o para envolver a lata; marcando na lata o tamanho do raio “entortado”, você vai verificar facilmente que é possível fazer 6 medições do raio “entortado” e ainda vai sobrar um pouquinho, pra terminar de envolver a lata toda (detalhe: uma volta só).
Isso quer dizer que uma volta completa na circunferência é de pouco mais de 6 rad (aproximadamente 6,28 rad, na verdade).
Por fim, entenda que arco de 1 rad é aquele que tem o mesmo comprimento do raio da circunferência a qual ele pertence, ou seja, se a circunferência tem um raio de 4 m, então o arco de 1 rad dessa circunferência tambem vai ter um comprimento de 4 m.
Em outras palavras, arco de 1 rad é o raio da circunferência “entortado”.
Mas agora surge uma questão: como relacionar a medida em graus com a medida em radianos?
Do que foi dito acima, sabemos que 1 volta completa (360°) corresponde a 6,28 rad; sendo assim, meia volta (180°) correspondem a cerca de 3,14 rad (ói aí o nosso famoso pi).
Perceba que usamos “corresponde a” e não “é igual a”, embora na “calculeira doida” que aparece nesse assunto nós façamos π rad = 180°.
Partindo dessa idéia (de que π rad = 180°) vai ser fácil fazer as conversões entre grau e radiano.
Por exemplo, tomemos um arco de 15°; qual o valor dele em radianos? Pra resolver essa, arme a regra de três simples assim:
π rad ______ 180°,
x rad ______ 15°
Como as grandezas são diretamente proporcionais (quer dizer, se a medida em radiano crescer, a medida em graus também crescerá), basta multiplicar cruzado e teremos que:
180.x = 15 π, o que nos leva a x = 15 π/180; simplificando, temos que x = π/12 rad.
Ou seja, 15° é a mesma coisa que π/12 rad (ou 0,1626 rad, aproximadamente).
Entendeu o processo? É sempre a mesma coisa pra transformar grau em radiano.
Agora, pra transformar de radiano para grau, é possível usar a mesma regra de três; ou ainda, se o arco em questão tiver o π, podemos trocá-lo por 180° e a conta estará praticamente terminada.
Foi muito rápido? Vou dar um exemplo.
Vamos transformar π/12 rad em graus; como esse arco já tem o π, basta trocá-lo por 180°, e fica assim: 180°/12 = 15°.
Sabemos agora que π/12 rad equivale a 15°.
Outro exemplo: 4π/9 rad = 4.180°/9 = 4.20° = 80°.
Aí você pergunta: de onde saiu esse 20? Bem, 180° e 9 podem ser simplificados, então eu não perdi tempo encontrando o 720 (que é o 4 vezes 180).
Veja que o porcesso parece bem mais simples que usar a regra de três, não é?
Mas suponha que o arco seja de 123,4 rad; como expressá-lo em graus? Vamos ter que apelar pra regra de três, assim:
Temos que π rad ______ 180°
Então...123,4 rad______ x
O que nos leva a π.x = 22212.
Muito cuidado nessa conta, pois aqui o π rad não deixa de estar em radiano; ele então será trocado por 3,14 rad, e teremos o seguinte: x = 22212/3,14 = 7073,88°.
O número parece meio monstruoso, mas se você lembrar que 6,28 rad correspondem a 360°, fica mais fácil de aceitar, certo?
Outra coisa importante de lembrar, antes da gente terminar a conversa, é que o comprimento de um arco de 1 rad depende do tamanho do raio da circunferência na qual esse arco está.
Sendo assim, se o raio de uma circunferência for 4 m, o arco de 1 rad tem 4 m (já vimos isso); se o raio for de 30 cm, o arco de 1 rad mede 30 cm.
E se o raio for de um comprimento qualquer, digamos, r, podemos dizer que o arco tem um comprimento qualquer L (que depende do tamanho de r, é claro).
Vamos estabelecer uma relação entre r e L.
Primeira maneira de escrever essa relação: usando o ângulo central α e o raio r.
Estabelecemos a regra de três direta: se 1r _____ 1 rad, então 1L _____ α rad, e encontramos que L = α.r.
Quer dizer, se tivermos o valor do ângulo central (em radianos, importante lembrar) e o valor do raio (em cm, m ou algo do tipo) podemos encontrar o comprimento do arco de circuferência correspondente.
Por exemplo, qual será o comprimento de um arco de π/5 rad em uma circunferência cujo raio é 20 cm?
Sabemos que α = π/5 rad e que r = 20 cm; substituindo esses valores na fómula, encontramos:
L = 4π cm; substituindo π por 3,14, teremos que L = 12,56 cm.
Dessa fórmula, podemos calcular o valor do ângulo central α (em radianos), bastando para isso dividir L por r (supondo estarem os dois na mesma unidade de comprimento).
Segunda maneira de escrever essa relação: usando o perímetro da circunferência e o ângulo em graus.
Se o arco de 1 volta (2πr, lembra?) corresponde a 360°, então um arco L corresponde a β graus (você deve lembrar os nomes dessas letras estranhas: α – alfa e β – béta).
Após todas as simplificações, teremos que L = π.r.β/180°
Essa fórmula nos dá o comprimento do arco L, se o ângulo central estiver em graus; lembre que ainda aqui você deve trocar o π por 3,14.
Acompanhou a situação até aqui?
Pegue um livro de ensino médio e faça alguns exercícios, só pra ter certeza; leia essa conversa quantas vezes forem necessárias.
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Escrito por Osvanildo Alves em 19 de junho de 2012, terça-feira noite.
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