PERGUNTAS E RESPOSTAS EM GEOMETRIA ANALÍTICA

CONVERSA 7

Nesta conversa, apresentamos algumas perguntas cujas respostas, na sua maioria, são dadas por fórmulas. Estas, no entanto, estão descritas em palavras e procedimentos, e não em símbolos, como acontece geralmente nos livros.
Leia com atenção e resolva os exemplos propostos e certamente você vai entender tudo.

PONTO

Dados dois pontos conhecidos...

1.       Como determinar a distância entre eles?

“Subtrai os X e eleva ao quadrado, subtrai os Y e eleva ao quadrado, soma e tira a raiz quadrada; cuidado para manter a ordem da subtração”.

Ex1: dados os pontos A(-2, -3) e B(4, 9), determine a distância entre eles.

Ex2: sejam os pontos A(-3, 5) e B(5, 9) extremos de um segmento de reta, determine o tamanho desse segmento.

Ex3: calcule a distância entre os pontos A(3, 2) e B(-6, -3).

Ex4: classifique quanto aos ângulos o triângulo cujos vértices são os pontos A(1, 5), B(-4, 7), C(4, -3).

CUIDADO: se o quadrado da distância maior for igual a soma dos quadrados das outras duas distâncias, o triangulo é retângulo; se for menor, é acutângulo; se for maior, é obtusângulo.

2.       Como calcular o ponto que fica no meio do segmento determinado por estes dois pontos conhecidos? (quer dizer, como calcular o ponto médio do segmento?)

“Some os X e divida por 2, some os Y e divida por dois”.

Ex5: determine o ponto médio do segmento de extremidades A(-2, -3) e B(4, 9).

Ex6: determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos A(1, 5) e B(4, -3).

Ex7: determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos A(-6, 4) e B(3, -5).

Ex8: dado o segmento de extremos A(8, 3) e B(2, 7), o ponto que pertence ao segmento e é eqüidistante dos extremos tem coordenadas:

Dados três pontos distintos...

3.       Como afirmar que eles participam de uma mesma reta? (quer dizer: estão alinhados ou são colineares)

“O determinante das coordenadas dos três pontos (com uma coluna de UNS) é igual a zero.”

Ex9: determine se são colineares os pontos A(-2, 3), B(5, 2), C(1, 4).

Ex10: são colineares os pontos A(-1, 0), B(2, 3) e C(-5, -4)? Justifique.

Ex11: A(2, 3), B(5, 3), C(2, 1) estão alinhados?

4.       Quando eles não forem colineares, como determinar a área do triângulo do qual eles são os vértices (cantos)?

“A área desse triângulo é dada pela metade do módulo do determinante das coordenadas.”

Ex12: determine a área do triangulo cujos vértices são os pontos A(-2, -3), B(2, 5) C(1, -6).

Ex13: os pontos A(8, 1), B(-1, 3), C(5, 3) são vértices de um triangulo; determine a área desse triangulo.

Ex14: a área do triângulo de vértices A(2, 3), B5, 3) e C(2, 1) é:

Ex15: calcule a área determinada pelos pontos A(2, 1), B(5, 4), C(1, 6).

RETA

A partir de dois pontos distintos conhecidos...

5.       Como determinar o coeficiente angular (ou inclinação) da reta que passa por estes dois pontos?

1ª maneira: “Subtrai Y, subtrai X (na mesma ordem) e divide Y por X.”

Ex16: calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(8, 3), B(2, 6).

Ex17: determine a inclinação da reta a qual pertencem os pontos A(9, 2), B(5, -6).

Ex18: calcule o coeficiente angular da reta a qual pertencem os pontos A(9, 6), B(7, 2).

Ex19: calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos A(2, 5), B(3, 4).

2ª maneira: a partir da equação geral da reta, ax + by + c = 0, sabendo que o coeficiente angular “m” é dado pelo oposto de “a” sobre “b”.

Ex20: seja r: 3x – 6y + 5 = 0; determine seu coeficiente angular.

Ex21: determine o coeficiente angular da reta t: 5x – 2y + 6 = 0.

3ª maneira: calcule a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x (no sentido anti-horário)

Ex22: [desenhos]

6.       Como determinar a equação da reta que passa por estes dois pontos?

1ª maneira: usando os dois pontos, calcule o coeficiente angular; depois, usando um dos pontos conhecidos (x_P, y_P), um ponto genérico (x, y) e o coeficiente angular (m), aplique a fórmula: y – y_P = m.(x – x_P).

Ex23: Dados os pontos A(-5, -3), B(2, 4), determine a equação da reta que passa por eles.

Ex24: determine a equação da reta que passa pelos pontos A(8, 1) e B(-5, 2).

Obs: se você já conhece um ponto e o coeficiente angular da reta, pode usar direto a forma ponto-coeficiente angular.

Ex25: seja 2/3 a inclinação de uma reta, que passa pelo ponto (1, 5); a equação dessa reta é:

Ex26: seja o ponto P(3, 2) pertencente a reta r, cujo coeficiente angular vale -3; a equação da reta r é:

2ª maneira: use a formula da condição de alinhamento de três pontos, tendo na linha inicial do determinante um ponto genérico (x, y); ao final, escreva a equação GERAL da reta (quando a expressão é igual a zero), ou a equação reduzida (quando isolamos o y).

Ex27: sejam os pontos A(7, 1) e B(2, 5), a equação da reta que passa por eles é:

Ex28: qual a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 2) e B(2, 3)?

Ex29: dados dois pontos C(-2, -1) e D(5, -1), a equação reduzida da reta que passa por eles é:

Dados os pontos de corte de um gráfico com os eixos coordenados...

7.       Como encontrar a equação da reta que passa por estes pontos?

“Use a equação segmentária da reta, ou seja: x sobre "x do corte" mais y sobre " y do corte", igual a 1; a partir disso, é possível encontrar a reduzida ou a geral.”

Ex30: [desenhos]

Obs: como calcular a equação geral a partir da segmentária?

“Multiplique a equação segmentária pelo produto dos denominadores, e faça a expressão ficar igual a zero.”

Ex31: dada a reta determinada por x/(-5) + y/3 = 1, sua equação geral é:

Ex32: se o gráfico de uma reta intercepta os eixos coordenados nos pontos A(-5, 0) e B(0, 3), sua equação geral é:

Obs: podemos também encontrar a reduzida, bastando isolar y.

Ex33: [modificar respostas dos dois exemplos anteriores]

Dadas as equações de duas retas...

8.       Como saber a posição relativa destas retas?

“Ver seus coeficientes angulares: as retas serão paralelas se os coeficientes angulares tiverem o mesmo valor (ou seja, forem iguais); as retas serão concorrentes (quer dizer, se cruzam) se os coeficientes angulares forem diferentes.”

Obs: quando os coeficientes angulares são diferentes, pode acontecer que a multiplicação entre eles dê -1; neste caso, dizemos que as retas são perpendiculares entre si, ou seja, formam entre si 90°.

Obs: podemos dizer ainda que, quando duas retas são perpendiculares entre si, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra (quer dizer, conhecido o coeficiente angular de uma delas, o coeficiente angular da outra é encontrado apenas trocando o sinal e girando).

Ex34: sejam as retas r: 3x – 5y + 4 = 0 e s: -10y + 6x – 7 = 0, classifique-as em paralelas, concorrentes ou perpendiculares.

Ex35: o que se pode afirmar em relação as retas r: 3x – 5y + 4 = 0 e s: 2x – 5y + 4 = 0?

Ex36: qual a posição relativa das retas determinadas por 3x – 5y + 4 = 0 e -5x – 3y – 6 = 0?

9.       Como encontrar o ponto de interseção entre elas (caso exista)?

“A partir das equações, arme um sistema e resolva; os valores de x e de y formarão as coordenadas do ponto de interseção.”

Obs: o sistema pode ser resolvido por adição (1), substituição (2) ou comparação (3).

(1)    Isole “c” em cada uma das equações gerais e faça com que os coeficientes de x ou os de y sejam simétricos;

(2)    Isole x ou y em uma das equações e substitua na outra equação;

(3)    Isole y nas duas equações e iguale estes valores; após encontrar o valor de x, retorne a qualquer das equações anteriores e calcule y.

Ex37: determine o ponto de interseção das retas de equações 3x – 2y – 1 = 0 e –x + y – 5 = 0.

Ex38: o ponto em que as retas r: 5 + 3x – 2y = 0 e s: 5x + 3y – 8 = se cruzam é:

CONSIDERAÇÕES FINAIS

10.   Se a equação for dada na forma paramétrica, como escrever ela em termos de x e de y somente?

“Basta isolar o parâmetro (que é uma letra diferente de x ou de y) em uma das expressões e substituir esse valor na outra expressão.”

Ex39: seja a equação definida por x = 4t – 5 e y = 8 – 2t; determine as equações geral, segmentaria e reduzida dessa reta.

Ex40: se a reta r é definida por y = 2p + 3 e x = -5p + 3, sua equação geral é:

 A primeira versão desse texto foi preparada por mim em 2009, para uma apostila para o terceiro ano do EM.

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