SISTEMAS LINEARES ESCALONAMENTO

CONVERSA 9

A pedido de Rafaela Troian Donatti

Supondo que você já tenha a teoria de escalonamento, vou te apresentar um exemplo comentado, pra ver se você entendeu mesmo. Sendo assim, vamos aos exemplos.

Só pra lembrar, você só pode fazer três operações com as equações do sistema:

1 – trocá-las de lugar

2 – multiplicar uma (ou mais) delas por um número real (que não seja zero, é claro)

3 – trocar uma equação por uma mistura das outras (por mistura entenda uma combinação linear, mas eu não vou perder tempo te falando disso agora).

Com essas operações você transforma um sistema em outro equivalente, portanto a solução do novo sistema escalonado (em forma de escada) é a mesma que a do sistema original.

Exemplo 1 – o sistema de equações abaixo deve ser escalonado

x + y – z = 1

x – y +z = -1

2x + y – 3z = 2

temos que sumir com o x da segunda e da terceira linhas; para isso, vamos olhá-las uma de cada vez, assim:

vamos trocar a segunda linha por uma combinação linear formada pela diferença entre a segunda e a primeira, nessa ordem, ou seja:

nova linha 2 = linha 2 menos a linha 1

não vai errar jogo de sinais (na dúvida, consulte http://www.convermat.blogspot.com.br/2012/03/c1-regra-de-sinais.html)

vai ficar assim:

x + y – z = 1

- 2y + 2z = -2

2x + y – 3z = 2 (essa linha ainda não mudou, pois não mexemos com ela ainda)

Para eliminar o x da terceira linha, vamos fazer assim: trocamos a terceira linha por uma combinação linear da terceira com a primeira (ve que a gente tá usando sempre a primeira, pois se usar a segunda aqui o x vai reaparecer na segunda linha e vai “cagar” tudo), ou seja:

A nova linha 3 = linha menos o dobro da linha 1 (duplique a linha 1 toda, e ela vai ficar 2x + 2y – 2z = 2, entendeu?)

vai ficar assim:

x + y – z = 1

- 2y + 2z = -2

- y – z = 0

Agora só temos que acabar com o y da terceira linha e nossa escada estará pronta; para isso, vamos trabalhar com a segunda e a terceira linhas; se usarmos a primeira o x vai reaparecer e você já sabe o que acontece nesse caso.

Sendo assim, a nova linha 3 = dobro da linha 3 menos a linha 2 (cuidado! Nem sempre usamos o MENOS; o que ocorreu aqui foi só uma coincidência; você mesmo pode encontrar outra maneira de fazer essa conta, sem esse menos no meio, com certeza).

O dobro da linha 3 vai ficar assim: -2y – 2z = 0 e o sistema vai acabar ficando assim:

x + y – z = 1

- 2y + 2z = -2

-4z = 2

Veja que nosso sistema já está escalonado e podemos “desmontá-lo” de baixo para cima; é facil perceber que z = -2;substituindo esse valor na segunda equação teremos y = -1 e substituindo z e y na primeira equação temos que x = 0.

Achamos a solução do sistema.

Vamos pra outro exemplo, só pra ter certeza?

Exemplo 2 - Escalonando o sistema abaixo

5x – 2y + 2z = 2

3x + y + 4z = - 1

4x – 3y + z = 3

a galera diz que é bom que o primeiro elemento da primeira linha tenha coeficiente 1 (e não 5, como ocorre aqui), mas vamos deotnar assim mesmo e ver o que acontece.

Já sabe que tem que sumir com o termo em x da segunda e da terceira linha, lembra?

Pra isso, sugiro que você faça:

nova linha 2 = 5 vezes a linha 2 menos 3 vezes a linha 1 (percebeu que a gente só fez uma brincadeira com os coeficientes?)

vai ficar assim:

5x – 2y + 2z = 2

11y + 14z = -11

4x – 3y + z = 3

fazemos agora nova linha 3 = 5 vezes a linha 3 menos 4 vezes a linha 1, e vai ficar assim:

5x – 2y + 2z = 2

11y + 14z = -11

-7y – 3z = 7

agora, na linha 3, faremos nova linha 3 = 11 vezes a linha 3 mais 7 vezes a linha 2 (olha o jogo de sinais...) e teremos:

5x – 2y + 2z = 2

11y + 14z = -11

– 65z = 0

de onde podemos encontrar z = 0 e por substituição nas outras, y = -1 e x = 0.

Acredito que agora já está um pouco mais simples; resta a você tentar resolver outros, conferindo as respostas no final de seu livro (caso ele traga as respostas).

Sugiro que você pegue um livro de ensino médio, só pra esquentar um pouco.

Elaborado em 16 de abril de 2004, segunda-feira.

Questões dos livros “Álgebra Linear Para Computação”, Isabel Espinosa, Laura Biscolla e Plínio Filho, LTC e “Álgebra Linear a Aplicações”, Carlos Callioli, Hygino Domingues, Roberto Costa, Atual Editora.

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