ESTUDO DIRIGIDO DE PG

CONVERSA 8

Aqui, você deve ter uma fonte de consulta para completar o texto, escrevendo as fórmulas.

Logo após, você encontrará blocos de questões para treinar. 

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

         É toda seqüência onde o quociente entre cada termo e seu antecessor é uma constante. A esta constante chamamos de razão da PG (q).

Daí temos:

1. Determine o valor de x para que (x + 2, 2x – 2, 4x – 2) formem, nesta ordem, uma PG.
2. Determine a razão e o primeiro termo da PG de modo que a seqüência x, x + 6, x + 10 forme, nesta ordem, uma PG.

Propriedade: Em toda PG, qualquer termo é a média geométrica entre seus eqüidistantes.

Sendo (a₁, a₂,..., a_{n - 1,} a_n,...), temos que...

1. Determine o valor de x para que a seqüência (x + 2, x – 2, 3x – 6) seja uma PG.
2. Qual o número que devemos somar a 1, 3 e 4 para que se tenha, nessa ordem, uma PG?

Classificação

1. PG crescente

a)      a₁ > 0 e q > 1

b)      a₁ < 0 e 0 < q < 1

1. PG decrescente

a)      a₁ < 0 e q > 1

b)      a₁ > 0 e 0 < q < 1

1. PG oscilante ou alternante: quando q < 0
2. PG constante:

a)      a₁ = 0 e q qualquer

b)      a₁ ¹ 0 e q = 1

1. PG estacionária: quando a₁ ¹ 0 e a₂ = a₃ = a₄ = ... = 0. Ocorre quando q = 0.

Notações Especiais:

a)      PG com 3 termos: (x, xq, xq²) ou (x/q, x, xq).

b)      PG com 4 termos: (x, xq, xq², xq³)

c)      PG com 5 termos: (x, xq, xq², xq³, xq⁴) ou (x/q², x/q, x, xq, xq²).

Termo Geral da PG

a_n = a₁ . q^{n - 1}

Obs.: Para dois termos quaisquer a_n e a_k podemos escrever (para n > k):

Ou seja, conhecendo dois termos de uma PG, podemos determinar a razão.

1. Calcular o oitavo termo da PG (1, 3, 9,...).
2. Na PG (4, 2, 1, ½,...), determine a posição do termo 1/64.
3. Determine o primeiro termo de uma PG em que a razão é 5 e o sétimo termo é 31250.
4. Qual o primeiro termo da PG em que a₃ = 24 e a₇ = 384?

Soma dos Termos de uma PG Finita

S_n =

1. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (5, 10, 20,...).
2. Sendo S₈ = 1530 e q = 2, calcule a₁ e a₅.
3. Numa PG, S₁₀ = 236192 e q = 3. Calcule a₂ e a₇.
4. Determine o primeiro termo, a razão e a soma dos seis primeiros termos da PG que tem a₃ = 15 e  a₆ = 5/9.

 Produto dos Termos de uma PG Finita

         Em toda PG, os produtos entre os termos eqüidistantes ao centro são iguais.

Ex: (1, 3, 9, 27, 81, 243).

                                                                                                

Daí, concluímos que:                                                    ou ainda:

Ex: Calcule o produto dos dez primeiros termos da PG (1, 2, 4,...).

Soma dos Termos de uma PG Infinita

 

S =

1. Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,666...
2. Resolva as equações, onde o primeiro membro representa a soma dos termos de uma PG infinita.

a) 80x + 40x + 20x + ... = 320

b) x + x/3 + x/9 + ... = 12

EXERCÍCIOS

1. Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem, três números em PG? [-33]
2. Há 10 anos o preço de uma certa mercadoria era de 1 + x reais. Há 5 anos era de 13 + x reais e hoje é  49 + x reais. Sabendo que o tal aumento deu-se em progressão geométrica e de 5 em 5 anos, determine a razão do aumento. [3].
3. Numa progressão geométrica de seis termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determine a progressão. [(2, 6, 18, 54, 162, 486)].
4. Os lados de um triângulo retângulo apresentam medidas em PG. Calcule a razão da PG.
5. Determine o conjunto dos valores que pode ter a razão de uma PG crescente formada pelas medidas dos lados de um triângulo.
6. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em PG e seu produto é 1728. Calcule as medidas dos lados.[12, 12, 12 ou 8, 12, 18 ou 6, 12, 24 ou 4, 12, 36].
7. Obtenha o 10^o. e o 15^o. termos da PG (1, 2, 4, 8,...). [512, 4096].
8. Sabendo que a população de certo município foi de 120000 hab em 1990 e que essa população vem crescendo a uma taxa de 3% aa, determine a melhor aproximação para o número de habitantes desse município em 1993. [131127].
9. Uma indústria está produzindo atualmente 100000 unidades de um certo produto. Quantas unidades estará produzindo ao final de 4 anos, sabendo que o aumento anual da produção é de 10%? [146410].
10. Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram na mistura? [2, 85 ].
11. Uma empresa produziu, no ano de 1990, 100000 unidades de um produto. Quantas unidades produzirá no ano de 1995, se o aumento de produção é de 20%? [248832].
12. Intercale 6 meios geométricos reais entre 640 e 5. [q = ½].
13. Qual é o sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e      –24, tomados nessa ordem? [-96].
14. Sendo a e b números dados, ache outros dois x e y tais que a, x, y, b formem uma PG.
15. a) Calcule a soma S = log₂a + log₂2a + log₂4a + ... + log₂2ⁿa.

b) Qual o valor de a, se S = n + 1?

1. Considere uma progressão geométrica, em que o primeiro termo é a, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto de seus termos é c. Se log_ab = 4, log_qb = 2 e log_cb = 0, 01, quantos termos tem essa PG? [20].
2. Calcule o produto dos 101 termos iniciais da PG alternante em que a₅₁ = -1. [-1].
3. Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma PG de razão 8. Calcule a medida da base. [16].
4. Dois conjuntos A e B são tais que o número de elementos de A – B é 50, o número de elementos de     A È B é 62 e o número de elementos de A – B, A Ç B e B – A estão em PG. Determine o número de elementos do conjunto A Ç B. [10].
5. Partindo de um quadrado Q₁, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q₂, Q₃, Q₄,..., Q_n tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule, então, a soma das áreas dos quadrados Q₁,..., Q_n.
6. Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?

a) 0, 417417417...      b) 5, 121212...     c) 0, 17090909...      d) 9, 3858585...

22.  Divide – se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se a parte central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcule a soma dos comprimentos retirados. [m].

1. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3. Unindo os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos perímetros de todos os triângulos formados. [18].
2. É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pontos médios de seus lados, constrói-se um 2^o.  triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados do 2^o. constrói-se um 3^o. triângulo e assim por diante. Qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos? [2p].
3. É dada uma sequência infinita de quadriláteros, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obtenha a soma das áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro. [2A].