TRIGONOMETRIA ARCOS CÔNGRUOS

CONVERSA 13

Partindo do princípio de que você já sabe localizar pontos no ciclo trigonométrico (quer dizer, localizar as extremidades dos arcos), vamos esclarecer algumas idéias a respeito dos arcos côngruos e a famosa primeira DP.

Na nossa conversa você deve entender que arco da primeira volta é qualquer arco que está entre 0° e 360°; passou disso, ele pode ser um arco de segunda volta, terceira volta e assim por diante.

Sendo assim, qualquer arco maior que 360° (ou 2π rad) já não está mais na primeira volta.

Todo arco tem uma origem (por convenção, no eixo horizontal) e uma extremidade; os arcos são desenhados no sentido anti-horário (o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio).

Me acompanha até aqui?

Pois agora é que a coisa começa.

Como os arcos são desenhados sobre a circunferência, quanto maior o arco for, mais voltas teremos que dar na circunferência de modo a chegar na extremidade desse arco.

Não entendeu? Vamos dar um exemplo.

Pense no arco de 2325°; bem grande, né? Quantas voltas completas temos que dar pra desenhar esse arco todo?

Bem, só precisamos descobrir quantos pedaços de 360° existem dentro de 2325°, e a melhor maneira de fazer isso é dividindo (não se preocupe; só vamos trabalhar com números naturais).

Assim, 2325° : 360° = 6, e temos um resto de 165°.

Portanto, são necessárias 6 voltas completas em torno da circunferência e mais 165° extras, pra desenharmos todo o arco de 2325°.

Vamos supor que você chegou no meio da história e só viu a gente marcando a extremidade do arco de 2325°; não sabe que a gente passou o lápis 6 vezes ao redor da circunferência.

Pra você, é como se estivéssemos apenas marcando o arco de 165°, não é mesmo?

Pois bem; como 2325° e 165° têm a mesma extremidade (embora o 2325° esteja na sétima volta e o 165° esteja na primeira), eles são ditos CÔNGRUOS. É importante lembrar também que na diferença entre eles aparece uma quantidade exata de voltas completas.

Em outras palavras, se dois arcos são côngruos:

(a)    Eles sempre terminam no mesmo lugar, sobre o ciclo trigonométrico;

(b)   Dentro do maior sempre haverá uma certa quantidade (inteira) de voltas completas;

(c)    O excedente das voltas completas (o resto da divisão) será chamada A PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DO ARCO em questão.

Mas que resto de divisão, e que história é essa de primeira determinação positiva?

Olhe só; fizemos agora há pouco a divisão de 2325° por 360°;  conseguimos 6 voltas completas e ainda sobrou um arco de 165°, não foi?

Esse bendito 165° é a “sombra” do 2325° lá na primeira volta. Se você não souber nada a respeito das 6 voltas que temos que dar para desenhar o arco de 2325°, você vai pensar que nós apenas desenhamos o arco de 165°.

É como se o arco de 165° fosse um “ancestral” do 2325°, quando este ainda “estava na primeira volta”. Compreeende a história?

Sendo assim, chamamos o 165° de primeira determinação positiva (1ª DP) do arco de 2325° (podemos trabalhar também a primeira determinação negativa, com um raciocínio semelhante).

Podemos reescrever a divisão assim, usando o algoritmo de Euclides:

2325° = 6 . 360° + 165°; entende?

Antes de irmos para radianos, deixo aqui mais um exemplo. Encontre a primeira DP de um arco de 580°.

Simples, né? A primeira DP é 220°. Entendeu por quê?

Você pode estar pensando: “mas com graus fica uma garapa! Quero ver é fazer isso com radianos; aquele monte de pi pra todo lado...”.

Vamos começar com um exemplo, tá bom?

Encontremos a primeira DP dos arcos (em radianos) 9π/2, 17 π/4, -23 π/4, -13 π/5.

Há muitas maneiras de resolver isso; vamos ver algumas.

Primeira maneira: transforme em graus, ache a primeira DP e transforme-a em radianos, de novo, pra dar a resposta.

Assim, 9 π/2 rad = 810° = 2 . 360° + 90°; a primeira DP é 90°, que podemos escrever π/2 rad.

Só isso.

Segunda maneira: abrir o arco em uma soma, de modo que uma das parcelas seja um número par (o maior possível).

Assim, 17 π/2 rad = 16 π/2 + π/2 = 8 π + π/2; como 8 é um número par (o maior possível nessa situação), podemos garantir que π/2 rad é a nossa primeira DP.

Qual foi a macumba?

Sabemos que o 8 π é o mesmo que 4 . 2 π, quer dizer, 4 voltas completas; portanto, fica fácil aceitar que o que sobrou (π/2 rad) é a nossa 1ª DP; beleza?

E quando aparecem os arcos negativos?

Seguinte: -23 π/4 = - 1035° = (- 2) . 360° – 315° (sim, - 315°, pois o resto dessa divisão também é negativo.

Repare que nós dividimos por 360°, sem nenhum caqueado de sinal; o (-2) indica duas voltas no sentido horário, que é o negativo no ciclo trigonométrico. Podemos reescrever a coisa assim: - 1035° = 2 . (- 360°) – 315°.

Agora, é só localizar esse arco de -315° e depois lê-lo no sentido positivo.

Podemos verificar que, no sentido negativo, esse arco de -315° está no que seria o quarto quadrante negativo, bem no meio desse quadrante; nós sabemos que esse é o primeiro quadrante no sentido positivo, e que o -315° coincide com o +45°; sendo assim, a 1ª DP é π/4 rad.

Parece meio confuso, né?

Pra simplificar (será?), podemos dizer que a primeira determinação NEGATIVA de -1035° é o arco de -315° (-7 π/4 rad), ou que a 1ª DP é π/4 rad.

Vamos tentar mais uma, pra ver se você consolida o que entendeu até aqui?

O tal do -13 π/5 pode ser resolvido assim: -13 π/5 = -10 π/5 - 3 π/5 = -2 π - 3 π/5.

Podemos escrever assim, pra ficar mais claro: -13 π/5 = (-1).2 π - 3 π/5.

Daqui, percebemos que é dada apenas uma volta (no sentido negativo) e avança-se 3 π/5 rad. Podemos então nos concentrar no -3 π/5 rad e ver que ele está no segundo quadrante negativo, que na verdade é o terceiro positivo; ainda mais, ele corresponde ao arco de 7 π/5 rad. Este, então, é a nossa 1ª DP.

Pareceu meio confuso? Muita informação? Leia de novo, com muita calma, rabiscando; você vai conseguir entender, pode ter certeza.

Pra terminar, vamos falar de expressão geral dos arcos côngruos.

Você usa a expressão geral quando quer determinar uma “fórmula” que lhe permita “adivinhar” todos os arcos côngruos a um arco dado.

Não entendeu? Vamos explicar.

Tomemos como exemplos os arcos com os quais já trabalhamos até aqui.

A expressão do arco 2325° foi: 6 . 360° + 165°; já para a expressão geral vamos generalizar a quantidade de voltas, para um valor inteiro k, e podemos escrever assim:

A expressão geral dos arcos côngruos a 2325° é k . 360° + 165°, com k pertencendo aos inteiros (conjunto Z).

Podemos também dizer que essa é a expressão geral dos arcos côngruos a 165°.

Extremamente simples, não é?

Mas qual a importância de saber a expressão geral dos arcos côngruos? Ora, com ela é possível descobrir todos os arcos côngruos a um arco dado. Por exemplo:

Fazendo k = 0 (nenhuma volta) na expressão geral de 2325°, temos que sua primeira DP é 165°; fazendo k = 1 (1 volta), descobrimos a segunda DP, que é 525° e asssim por diante; ao fazermos k = 6, teremos o próprio arco de 2325°. Entende agora?

Já a expressão de 9 π/2 é escrita assim: k . 2 π + π/2, com k inteiro. Para k = 0, achamos a 1ª DP e assim por diante.

Importante: k inteiro quer dizer que você não pode usar um k do tipo 1,5; ou é 1 ou é 2; esse k é uma quantidade inteira de voltas completas. Beleza?

Ainda, para -23 π/4 teríamos k . 2 π – 7 π /4; fazendo k = 0 teríamos a 1ª DP (depois de transformar o -7 π/4), que é π/4.

Ao que tudo indica, pra evitar essa transformação do arco negativo para o positivo, e achar direto a primeira DP, basta fazer logo k = 1.

Como já deve ter percebido, para -13 π/5 teremos k . 2 π - 3 π/5.

Por fim, você deve estar pensando por que eu escrevi k . 2 π, ao invés de 2k π, como vem nos livros.

Simples! Primeiro, porque eu quero (menino bruto!!), e também porque fica mais simples de entender qual é o significado do k; acredito que os livros trazem 2k π apenas para ficar mais fácil de pronunciar.

Terminamos por aqui; caso restem dúvidas, releia tudo de novo, com muita calma, rabiscando os exemplos.

Se a dúvida persistir, deixe-a nos comentários ou mande por email (ver página “Contato”) ou deixe na nossa página no facebook, valeu?

Estude bastante; estarei orando pra que você detone! Sucesso!!

Escrito por Osvanildo Alves em 20 de junho de 2012.

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