CONVERSA 18
Vamos apresentar aqui exemplos do cálculo de limites laterais, com descrições passo a passo.
No entanto, é interessante que você domine (mesmo que parcialmente) as propriedades básicas de limite e, se possível, a definição de limite usando épsilons e deltas.
É importante também que seja capaz de traçar rapidamente um gráfico de função.
Vamos começar?
Limite lateral é o valor do limite da função que é calculado a partir de valores maiores que a tendência dada (este é o chamado limite lateral direito ou limite direito) ou de valores menores que a tendência dada (este é o limite lateral esquerdo ou limite esquerdo).
Como assim?
Vamos supor que você esteja calculando o limite de (2x – 1)/x, quando o x tende a 2.
Calculando o limite lateral esquerdo, ou seja, quando o x tende a 2 pela esquerda, podemos usar os valores 1; 1,5; 1,8; 1,9; 1,99; 1,999 e assim por diante para x, dependendo do grau de exatidão que desejarmos para o limite.
Com isso, calculamos alguns valores do limite a partir de valores inferiores ao valor da tendência (que é 2); ou seja, pegamos números que estão a esquerda de 2, e dizemos que x tende a 2 pela esquerda (e escrevemos o número 2 com um sinal de menos no “expoente”).
[com uma calculadora, calcule o valor do limite para os números dados para x, acima]
Calculando o limite lateral direito, ou seja, quando o x tende a 2 pela direita (ou ainda, por valores maiores que o 2), poderíamos usar valores como 3; 2,5; 2,2; 2,01; 2,001 e assim por diante.
Com isso, calculamos valores do limite a partir de valores maiores que a tendência, ou seja, pegamos números que estão a direita do 2, e dizemos que x tende a 2 pela direita (e escrevemos o 2 com um sinal de mais no “expoente”).
[com uma calculadora, calcule o valor do limite para os números dados para x, acima]
Relembrou o que é um limite lateral? Então vamos prosseguir.
No cálculo de limites laterais muitas vezes você se depara com funções de duas ou mais entradas, com condições geralmente dadas por sinais de desigualdade.
Primeiro, faça um esboço do gráfico. Com isso, você já terá uma noção de qual resposta deve encontrar (Se fazer o gráfico lhe parecer muito complexo, você pode usar uma calculadora e criar uma tabela, sugerindo valores decimais cada vez mais próximos da tendência e calculando os limites correspondentes; isso também vai lhe permitir chegar a resposta).
Feito o gráfico, use as propriedades básicas dos limites para calcular os limites a esquerda e a direita.
Certamente você lembra que, se esses limites laterais forem iguais, o limite bilateral existe. E mais, se o valor do limite bilateral for igual a imagem da função para a tendência dada, a função em questão será contínua.
Vamos para um exemplo numérico, pra ver se as coisas ficam um pouco mais claras, ok?
Vamos trabalhar com uma função definida por duas condições: f(x) = 5 + x, se x for menor ou igual a 3 e f(x) = 9 – x, se x > 3. É fácil perceber que a tendência do limite será 3.
[sugiro que você reescreva isso no caderno, para ir acompanhando]
Primeiro: se possível, construa o gráfico da função (são duas expressões de primeiro grau).
Segundo: para calcular o limite lateral pela direita, use f(x) = 9 – x, obviamente, e obtenha 6. Para calcular o limite lateral esquerdo, use f(x) = 5 + x e encontre 8.
É fácil perceber que como os limites laterias são diferentes, o limite da função (o tal do limite bilateral) não existe.
Portanto, a função é descontínua em 3.
Conseguiu acompanhar?
Vamos tentar outro exemplo?
Agora, uma função definida por f(x) = 2 – x, se x > 1 e f(x) = x2 se x for menor ou igual a 1. É fácil perceber que a tendência é 1.
Primeiro, trace o gráfico da função (não esqueça que temos uma função linear e uma quadrática).
Segundo, calcule os limites laterais: o esquerdo usando x2 (obtendo 1) e o direito usando 2 – x (obtendo 1).
Terceiro: como os limites laterais são iguais, concluímos que 1 é o limite da função.
Quarto: como f(1) = 1, cumprimos as condições de continuidade, e concluímos que a função dada é contínua em x = 1.
Pra “saidêra”, vamos verificar a continuidade da função definida por f(x) = (x2 – 2x – 3)/(x + 1), com x tendendo a -1.
Primeiro: do jeito que está, fazer o gráfico parece um pesadelo (e é mesmo); por isso, ao tentar simplicar a expressão, obtemos (felizmente) que f(x) = x – 3.
Com isso...
Segundo: calculando os limites laterais, obtemos o valor -4 para ambos.
Terceiro: isso permite dizer que o limite bilateral existe e é igual a -4.
Quarto: percebemos que -1 não está no domínio da função e portanto não é possível calcular f(-1). Logo, a função não é contínua para x = -1.
Por fim você me pergunta: mas a postagem não era pra trabalhar cálculo de limites laterais? Por que aparece esse “lance” de função contínua?
Bem, limites laterais são usados em Cálculo para verificar a existência do limite, que por sua vez está muito atrelado ao estudo da continuidade das funções.
Mas disso você já sabia, com certeza.
Releia a postagem, anote, refaça as contas, até perceber que já entendeu; depois, pegue seu maravilhoso livrinho de cálculo e resolva só todas.
Sucesso e seja feliz.
Se possível, deixe seu comentário para melhorarmos a postagem, ou nos mande um email.
Escrito pelo prof. Osvanildo Alves, em 21 de agosto de 2012, terça-feira, para Pamella.
Caso queira utilizar a postagem, favor citar o autor ou o blog.
muito boa a sua explicação!
ResponderExcluir